直感に反することでおなじみのモンティーホール問題。
問題は有名なので省略。早速解説すると、
問題は「ドアを変えたほうがいいか」、「変えないほうがいいか」であるので、ドアを変えない場合と変える場合で場合分けする。
1. 手を変えない場合
シンプルに3つの中から1つ選ぶだけなので1/3となる。
2. 手を変える場合
もしアタリを選んでいた場合、2つのハズレのうち1つが開くので、変えるとハズレになる。
もしハズレを選んでいた場合、残りのハズレ1つが開くので、変えるとアタリになる。
すなわち、ドアを変えるという選択をすると、「必ず」アタリとハズレが入れ替わる。この「必ず」というのが重要。
つまり、最初にアタリを選ぶとハズレになり、最初にハズレを選ぶとアタリになる。ということは、アタリになる確率=最初にハズレを選ぶ確率になるので2/3になる。
以上が変えたほうがいい理由である。モンティーホール問題のポイントは、「なぜ変えたほうがいいのか」ではなく、「なぜ変えなくてもいいと思ってしまうのか」という点にあると思う。その意味で、実は数学の問題ですらないのかもしれない。